ETCコーポレートカードはマイレージ登録出来ますか？

ETCコーポレートカードはマイレージ登録をすることは出来ません。

インターネットで走行履歴など、状況の確認はできますか？

可能です。ETC利用照会サービスにてご確認いただけます（ご利用には、事前登録が必要です）。